Ist f stetig, dann auch | f | < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien f,g : I [mm] \to \IR [/mm] stetig in [mm] x_{0} \in [/mm] I , so sind auch der Betrag | f | und das Maximum max{f,g} stetig in [mm] x_{0}. [/mm] |
Als erstes würde ich gerne die Stetigkeit des Betrags zeigen. Dies ist mir dazu eingefallen:
Für alle Folgen [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |f(x_{n})| [/mm] = | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})| [/mm] = | [mm] f(x_{0}) [/mm] |
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da f stetig ist. somit wäre dann auch | f | stetig. Wäre das so schon in Ordnung oder reicht das nicht bzw. ist falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien f,g : I [mm]\to \IR[/mm] stetig in [mm]x_{0} \in[/mm] I , so sind auch
> der Betrag | f | und das Maximum max{f,g} stetig in [mm]x_{0}.[/mm]
> Als erstes würde ich gerne die Stetigkeit des Betrags
> zeigen. Dies ist mir dazu eingefallen:
>
> Für alle Folgen [mm]x_{n}[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm]
> = [mm]x_{0}[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |f(x_{n}|[/mm] = |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}|[/mm] = | [mm]f(x_{0}[/mm] |
>
> Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da f stetig ist.
Ja, und da der Betrag |*| stetig ist.
> somit
> wäre dann auch | f | stetig.
Na, na, wie begründest Du das erste "=" ???
> Wäre das so schon in Ordnung
Noch nicht !
FRED
> oder reicht das nicht bzw. ist falsch?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
erstmal danke für die Antwort.
Du schreibst:
> Ja, und da der Betrag |*| stetig ist.
Wie würde man sowas zeigen, einfach indem man zeigt, dass f(x) = |x| stetig ist?
> Na, na, wie begründest Du das erste "=" ???
Das war mir auch noch aufgefallen, mir fällt aber nichts ein, wieso das nicht gehen sollte oder wie ich es begründen könnte.. . Kannst du dazu noch einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Di 26.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
> erstmal danke für die Antwort.
> Du schreibst:
>
> > Ja, und da der Betrag |*| stetig ist.
>
> Wie würde man sowas zeigen, einfach indem man zeigt, dass
> f(x) = |x| stetig ist?
Hallo Stephan123,
der Betrag ist stetig bedeutet anschaulich: Liegen zwei Zahlen nahe beieinander, so liegen auch deren Beträge nahe beieinander. Und dies wiederum folgt aus einer der Dreiecksungleichungen. Nun Du!
Gruß,
Wolfgang
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Hallo,
dazu fällt mir die umgekehrte Dreiecksungleichung ein:
||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|
Dann könnte man doch folgendes machen:
[mm] \forall \epsilon \exists \delta [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I : [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - [mm] f(x_{0})| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Mit der Dreieckungleichung würde dann folgen:
[mm] \forall \epsilon \exists \delta [/mm] : [mm] \forall \in [/mm] I : [mm] |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | |f(x)| - [mm] |f(x_{0})| [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Somit würde aus der Stetigkeit von f im Punkt [mm] x_{0} [/mm] auch die Stetigkeit von |f| im Punkt [mm] x_{0} [/mm] folgen.
Wäre das so in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Di 26.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> dazu fällt mir die umgekehrte Dreiecksungleichung ein:
> ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x-y|
> Dann könnte man doch folgendes machen:
>
> [mm]\forall \epsilon \exists \delta[/mm] : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I :
> [mm]|x-x_{0}|[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x) - [mm]f(x_{0})|[/mm] <
> [mm]\epsilon[/mm]
>
> Mit der Dreieckungleichung würde dann folgen:
>
> [mm]\forall \epsilon \exists \delta[/mm] : [mm]\forall \in[/mm] I : [mm]|x-x_{0}|[/mm]
> < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] | |f(x)| - [mm]|f(x_{0})|[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
>
> Somit würde aus der Stetigkeit von f im Punkt [mm]x_{0}[/mm] auch
> die Stetigkeit von |f| im Punkt [mm]x_{0}[/mm] folgen.
>
> Wäre das so in Ordnung?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Di 26.03.2013 | | Autor: | Stephan123 |
Super,
danke :) .
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